线性回归 (Linear Regression)
线性回归（Linear Regression）是机器学习中最基础且广泛应用的算法之一。
线性回归 (Linear Regression) 是一种用于预测连续值的最基本的机器学习算法，它假设目标变量 y 和特征变量 x 之间存在线性关系，并试图找到一条最佳拟合直线来描述这种关系。
y = w * x + b
其中：
y 是预测值
x 是特征变量
w 是权重 (斜率)
b 是偏置 (截距)
线性回归的目标是找到最佳的 w 和 b，使得预测值 y 与真实值之间的误差最小。常用的误差函数是均方误差 (MSE)：
MSE = 1/n * Σ(y_i - y_pred_i)^2
其中：
y_i 是实际值。
y_pred_i 是预测值。
n 是数据点的数量。
我们的目标是通过调整 w 和 b ，使得 MSE 最小化。
如何求解线性回归？
1、最小二乘法
最小二乘法是一种常用的求解线性回归的方法，它通过求解以下方程来找到最佳的 ( w ) 和 ( b )。
最小二乘法的目标是最小化残差平方和（RSS），其公式为：
\[
\text{RSS} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2
\]
其中：
\( y_i \) 是实际值。
\( \hat{y}_i \) 是预测值，由线性回归模型 \( \hat{y}_i = w x_i + b \) 计算得到。
通过最小化 RSS，可以得到以下正规方程：
\[
\begin{cases}
w \sum_{i=1}^n x_i^2 + b \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n x_i y_i \\
w \sum_{i=1}^n x_i + b n = \sum_{i=1}^n y_i
\end{cases}
\]
矩阵形式
将正规方程写成矩阵形式：
\[
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i \\
\sum_{i=1}^n x_i & n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
w \\
b
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i y_i \\
\sum_{i=1}^n y_i
\end{bmatrix}
\]
求解方法
通过求解上述矩阵方程，可以得到最佳的 \( w \) 和 \( b \)：
\[
\begin{bmatrix}
w \\
b
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i \\
\sum_{i=1}^n x_i & n
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i y_i \\
\sum_{i=1}^n y_i
\end{bmatrix}
\]
2、梯度下降法
梯度下降法的目标是最小化损失函数 \( J(w, b) \) 。对于线性回归问题，通常使用均方误差（MSE）作为损失函数：
\[
J(w, b) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (y_i - \hat{y}_i)^2
\]
其中：
\( m \) 是样本数量。
\( y_i \) 是实际值。
\( \hat{y}_i \) 是预测值，由线性回归模型 \( \hat{y}_i = w x_i + b \) 计算得到。
梯度是损失函数对参数的偏导数，表示损失函数在参数空间中的变化方向。对于线性回归，梯度计算如下：
\[
\frac{\partial J}{\partial w} = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m x_i (y_i - \hat{y}_i)
\]
\[
\frac{\partial J}{\partial b} = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (y_i - \hat{y}_i)
\]
参数更新规则
梯度下降法通过以下规则更新参数 \( w \) 和 \( b \)：
\[
w := w - \alpha \frac{\partial J}{\partial w}
\]
\[
b := b - \alpha \frac{\partial J}{\partial b}
\]
其中：
\( \alpha \) 是学习率（learning rate），控制每次更新的步长。
梯度下降法的步骤
初始化参数：初始化 \( w \) 和 \( b \) 的值（通常设为 0 或随机值）。
计算损失函数：计算当前参数下的损失函数值 \( J(w, b) \)。
计算梯度：计算损失函数对 \( w \) 和 \( b \) 的偏导数。
更新参数：根据梯度更新 \( w \) 和 \( b \)。
重复迭代：重复步骤 2 到 4，直到损失函数收敛或达到最大迭代次数。
使用 Python 实现线性回归
下面我们通过一个简单的例子来演示如何使用 Python 实现线性回归。
1、导入必要的库
实例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
2、生成模拟数据
实例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)
# 可视化数据
plt.scatter(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Generated Data From Runoob')
plt.show()
显示如下所示：
3、使用 Scikit-learn 进行线性回归
实例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)
# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()
# 拟合模型
model.fit(x, y)
# 输出模型的参数
print(f"斜率 (w): {model.coef_[0][0]}")
print(f"截距 (b): {model.intercept_[0]}")
# 预测
y_pred = model.predict(x)
# 可视化拟合结果
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_pred, color='red')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Linear Regression Fit')
plt.show()
输出结果：
斜率 (w): 2.968467510701019
截距 (b): 4.222151077447231
显示如下所示：
我们可以使用 score() 方法来评估模型性能，返回 R^2 值。
实例
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)
# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()
# 拟合模型
model.fit(x, y)
# 计算模型得分
score = model.score(x, y)
print("模型得分:", score)
输出结果为：
模型得分: 0.7469629925504755
4、手动实现梯度下降法
实例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)
# 初始化参数
w = 0
b = 0
learning_rate = 0.1
n_iterations = 1000
# 梯度下降
for i in range(n_iterations):
y_pred = w * x + b
dw = -(2/len(x)) * np.sum(x * (y - y_pred))
db = -(2/len(x)) * np.sum(y - y_pred)
w = w - learning_rate * dw
b = b - learning_rate * db
# 输出最终参数
print(f"手动实现的斜率 (w): {w}")
print(f"手动实现的截距 (b): {b}")
# 可视化手动实现的拟合结果
y_pred_manual = w * x + b
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_pred_manual, color='green')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Manual Gradient Descent Fit')
plt.show()
输出结果：
手动实现的斜率 (w): 2.968467510701028
手动实现的截距 (b): 4.222151077447219
显示如下所示：